何をやっているかわかったら天才シリーズ。
自分がしたことを書くだけで解説は書かない。
まさに自分のための日記(？)


一般にs>1に対して　ζ(s)=1/1+1/2^s+1/3^s+…
は収束する。

s=2kの時、ζ(2k)=π^2k/c (cは有理数)となることが知られている。
だがs=2k+1の時はあまり知られていない。

なので今回(できる範囲で)調べてみた。

まず、奇数においてもζ(2k+1)=π^(2k+1)/c
となると仮定する。

k=1(つまりs=3)の時のcを初等的に求める努力をしてみる。

ここで、ζ(3)=1.2020569031…
から近似値として1.202057を用いる

1/c=ζ(3)/π^3≒1.202057/31.0063=0.03876815…

こいつを適当に連分数展開すると

1/c≒{0;25,1,3,1,6}

連分数展開では大きい数字が出る一次前までの近似の精度がいい。
１００とかを超えるようなやつが出てくればいいんだけど残念ながらそうもいかなかった。

結論
推測であるが1/cは分母が902を下回らない。具体的な値はこの手法では予想がつかない。


ちなみにζ(2)=1.6449340…
を1.645として1/cを連分数展開すると

1/c={0;5,1,207}

となってめでたくζ(2)=π^2/6ではないか、という予想がたてられる。

以上、終わり。